Интерференция Лазерное излучение Дифракция Френеля Геометрическая оптика Дисперсия света Естественный и поляризованный свет Искусственная анизотропия Элементарная квантовая теория

Квантование момента импульса

Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Однако в квантовой теории мо­мент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, Мг. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.

Это означает, что направление момента М в пространстве является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор М как-то «размазан» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной оси Z (рис. 12.12). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция Мг. Другие две проекции, Мх и Му, оказываются полностью неопределенными.

Рис. 12.12.

Модуль момента импульса. Для определения квадрата момента необходимо решить уравнение

(12.51)

Оператор достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора:

М2 = l( l + 1)ћ2, l = 0, 1, 2, …,

(12.52)

где l — орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента

 l = 0, 1, 2, …,(n-1).

(12.53)

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).

Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему оператором имеется существенное различие. Классический момент [r р] зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки О (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах). Оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его называют оператором углового момента. Собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, и  также не зависят от выбора точки О.

Проекция момента М z. Рассмотрим решение уравнения

(12.54)

 В сферических координатах (r, θ, φ) оператор проекции момента импульса на полярную ось z (от которой отсчитывается полярный угол θ) имеет вид

(12.54)

Для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (12.50) и (12.54), решить уравнение

(12.55)

где φ – азимутальный угол в полярной системе координат.

Подстановка ψ = C exp (αφ) приводит после сокращения на общий множитель ехр (αφ) к алгебраическому уравнению, 

из которого α = iМ z /ћ. Значит, решение уравнения (12.55) таково:

(12.56)

Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, для чего должно быть выполнено условие ψ (φ + 2π) = ψ (φ) или

Это условие будет выполнено, если положить M z = mћ, где т —целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор  обладает дискретным спектром:

Mz = m ħ, m = 0, ± 1, ± 2, …

(12.57)

Поскольку ось Z выбирают произвольно, равенство (12.57) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 12.13.

Число т называют магнитным квантовым числом. С точки зрения квантовой теории волновая функция ψl, соответствующая определенному квантовому числу l, представляет собой суперпозицию состояний (ψlm -функций), отличающихся друг от друга квантовым числом т. Иначе говоря, состояние с заданным l является вырожденным по т, причем кратность вырождения, т. е. число различных значений т, как следует из (12.57), равно 2l + 1. Как будет показано в дальнейшем, вырождение снимается при помещении атома в магнитное поле.

Рис. 12.13.

Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. |Mz| ≤ М, поэтому в соответствии с (12.53) и (12.57) должно выполняться условие

Отсюда следует, что максимальное значение |т| равно l.

Видно, что при заданном l число т принимает 2l + 1 значений:

образующих спектр величины Мz. В квантовой теории при указании орбитального момента принято называть только l, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все возможные значения его проекций на ось Z. Так например, когда говорят, что орбитальный момент l= 2, то имеется в виду модуль М момента и спектр Мz:

Напишем вместе полученные результаты:

(12.58)

(12.59)

Полученные результаты, определяющие возможные значения М и Мz, называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (см. рис. 12.13).

Корпускулярно-волновой дуализм свойств, обнаруженный у электромагнитного излучения, вскоре был обнаружен и у микрочастиц (молекул, атомов, ядер атомов, электронов, протонов, нейтронов и др.). В начале ХХ века в ряде экспериментов с микрочастицами, были обнаружены явления, которые не могли быть объяснены классической механикой, созданной для макротел. Первая серия таких явлений связана с экспериментами по рассеиванию альфа-частиц при прохождении их через вещество. Альфа-частицы являются ядрами атомов гелия и имеют положительный электрический заряд, так как состоят из двух протонов и двух нейтронов. Английский ученый Резерфорд, пропуская альфа-частицы с большой кинетической энергией через тонкие металлические пластинки, установил, что большая часть частиц отклоняются от первоначального направления на небольшие углы
Приложения определенного интеграла