Интерференция Лазерное излучение Дифракция Френеля Геометрическая оптика Дисперсия света Естественный и поляризованный свет Искусственная анизотропия Элементарная квантовая теория

Элементы квантовой статистики и зонной теории твердого тела

Понятие о квантовой статистике

 Свойства систем, состоящих из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики, изучаются в разделе статистической физики – квантовой статистике. Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат x, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса px, pу, pz, то состояние системы определяется заданием 6N переменных. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Подобное 6N-мерное пространство называется фазовым пространством.

Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом

dqdp  = dq1dq2…dq3Ndp1dp2…dp3N,

где q - совокупность координат всех частиц, р - совокупность проекций их импульсов.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h3 (h — постоянная Планка). Пусть квантово-механическая система состоит из частиц, которые имеют одинаковые физические свойства. Такие частицы называются тождественными. Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики - принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|ψ|2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

  Принимая во внимание физический смысл величины |ψ|2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

|ψ(х1, х2)|2 = |ψ(х2, х1)|2,

(14.1)

где х1 и х2 - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (14.1) вытекает, что возможны два случая:

ψ(х1, х2) = ± ψ(х2, х1),

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет - антисимметричной.

В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми - Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, π-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Состояние системы невзаимодействующих частиц (идеальный газ) задается с помощью так называемых чисел заполнения ni - чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния, характеризуемою данным набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, …, Для систем частиц, образованных фермионами, из-за принципа Паули числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 - для свободных состояний и 1 - для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить средние числа заполнения <ni>. Итак, рассматриваем задачу о нахождении наиболее вероятного распределения частиц по ячейкам фазового пространства.

Распределение Ферми - Дирака

Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из N фермионов (например, электронов), заключенных в сосуд с неизменяющимся объемом. Найдем число Ω способов, которыми эти N фермионов могут быть размещены по Z ячейкам. (Очевидно, что должно выполняться условие Z ≥ N; при Z = N фермионы могут быть размещены по ячейкам только одним способом.) Каждый способ размещения представляет собой микросостояние системы частиц. Следовательно, Ω есть не что иное, как статистический вес макросостояния системы. (В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто «статвес».) Произведем все возможные перестановки ячеек. Число таких перестановок равно Z!. Однако вследствие неразличимости тождественных частиц перестановки занятых электронами ячеек не приводят к новому распределению. Таких перестановок N !. Перестановки незанятых электронами ячеек также ничего не изменяют. Таких перестановок (Z — N)!. Следовательно, число физически различимых распределений N фермионов по Z ячейкам равно

(14.2)

Энергия ε частицы зависит от ее координат (если есть внешнее поле) и компонент импульса: ε = f(x, y, z, px , py , pz ). Уравнение f(x, y, z, px , py , pz ) = const = ε определяет гиперповерхность («сверхповерхность») в фазовом пространстве, все точки которой соответствуют одной и той же энергии частицы. Разобьем все фазовое пространство на тонкие энергетические слои. Будем считать i-м слой, ограниченный поверхностями f (x, y, z, px, py, pz) = εi и f (x, y, z, px, py, pz) = εi+1. Тонким считается слой, для которого εi+1 - εi << εi.

Пусть в пределы i-го слоя попадает Zi ячеек и Ni частиц. Тогда согласно (14.2) статвес подсистемы из Ni частиц будет равен

Статвес системы равен произведению статвесов подсистем

(14.3)

В статистической физике предполагается, что все микросостояния равновероятны. Поэтому статвес пропорционален вероятности данного микросостояния.

Чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум выражения (14.3) при соблюдении условий

(14.4)

(Е — энергия системы).

Вместо максимума статвеса Ω будем искать максимум энтропии S = k lnΩ. С учетом (14.3)

(14.5)

Согласно формуле Стирлинга (см. Савельев, Приложение 2 в кн.3)

(это справедливо для n>1, что соблюдается для чисел Zi и Ni). Преобразовав выражение (14.5) по формуле Стирлинга, получим

(14.6)

где const = ∑ Zi ln Zi (варьируются только числа Ni).

Надо найти максимум выражения (14.6) при условии постоянства полного числа частиц N и энергии Е системы (см. (14.4)). Эта задача на условный экстремум решается методом множителей Лагранжа, суть которого заключается в следующем. Пусть требуется найти экстремум функции f(x1, x2, ..., xn),нa аргументы которой наложены условия φ(x1, x2, ..., xn) = С1, φ2(x1, x2, ..., xn) = С2, ..., где С1, С2, … — константы. В математике доказывается, что в этом случае надо приравнять нулю частные производные по всем переменным хi от функции

считая неопределенные множители Лагранжа λ1, λ2, ... постоянными. Решив получившуюся систему п уравнений, находим значения переменных х1, х2, ..., хп, при которых достигается условный экстремум. В соответствии с методом множителей Лагранжа образуем функцию

(14.7)

(α и β— множители Лагранжа) и приравняем частные производные этой функции по переменным Ni нулю:

Из полученных уравнений следует, что

(14.8)

Отношение Ni /Zi представляет собой среднее число частиц <ni>, приходящихся на одну ячейку, т. е. на одно квантовое состояние. Решив уравнение (14.8) относительно величин <ni> = Ni /Zi , придем к формуле

(14.9)

Значение множителя β можно найти, воспользовавшись тем, что равенство всех частных производных по Ni функции (14.7) равнозначно равенству нулю дифференциала этой функции:

(14.10)

(число частиц N остается постоянным, поэтому dN = 0). Предположим, что система получает обратимо количество теплоты dQ, в результате чего энтропия системы получает приращение dS = dQ/T. Поскольку объем системы остается постоянным, работы в ходе получения теплоты не совершается; следовательно, dQ = dE. Соответственно

(14.11)

Из соотношений (14.10) и (14.11) следует, что β = 1/Т. Подставив в (14.9) найденное значение β и представив множитель α в виде μ /Т, получим окончательное выражение для распределения Ферми-Дирака:

(14.12)

Параметр распределения μ называется химическим потенциалом. Он является функцией макроскопических параметров состояния ферми-газа, в частности температуры. Энергия частицы определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Очевидно, что с точностью до той же постоянной определяется и химический потенциал μ (иначе от выбора этой постоянной, т. е. от нашего произвола, зависели бы числа заполнения). Обычно аддитивную постоянную выбирают так, чтобы наименьшее значение энергии ε, было равно нулю. Тогда и химический потенциал делается однозначным.

При абсолютном нуле температуры величина μ, может быть только положительной. В противном случае экспонента в знаменателе (14.12) обращалась бы при Т = 0 в бесконечность, а числа заполнения — в нуль.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств, обнаруженный у электромагнитного излучения, вскоре был обнаружен и у микрочастиц (молекул, атомов, ядер атомов, электронов, протонов, нейтронов и др.). В начале ХХ века в ряде экспериментов с микрочастицами, были обнаружены явления, которые не могли быть объяснены классической механикой, созданной для макротел. Первая серия таких явлений связана с экспериментами по рассеиванию альфа-частиц при прохождении их через вещество. Альфа-частицы являются ядрами атомов гелия и имеют положительный электрический заряд, так как состоят из двух протонов и двух нейтронов. Английский ученый Резерфорд, пропуская альфа-частицы с большой кинетической энергией через тонкие металлические пластинки, установил, что большая часть частиц отклоняются от первоначального направления на небольшие углы
Приложения определенного интеграла