Формула Тейлора Интегрирование функций нескольких переменных Вычисление интеграла Длина дуги в декартовых координатах Числовые ряды Функции комплексной переменной

Математика примеры решения задач контрольной работы

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла: . Вычислить интеграл .

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и . Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Вычисление объема тела Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов I рода Вычислить интеграл , если  , , .

Вычисление интеграла ФНП.

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение.

Пусть функция  задана на , . Тогда интеграл  можно назвать "определенным интегралом с переменным верхним пределом", ,  – переменная интегрирования;
он является некоторой функцией верхнего предела, .

Теорема (о дифференцируемости  на )

Если   непрерывна на , то  дифференцируема на , причем  .

Доказательство. Пусть , : . Тогда

, здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на  функции ,  – точка, расположенная между  и .

Далее рассмотрим отношение  при , получаем

.

Поскольку  – произвольная точка отрезка , то  
существует для каждого   из , т.е.  – дифференцируемая на  и

.

Замечания.  1. Из представления  следует
непрерывность   в точке  и в силу произвольности точки   – непрерывность  на .

Можно показать [1], что для непрерывности функции  достаточно потребовать интегрируемость (по Риману) подынтегральной функции  на .


Математика примеры решения задач