Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Решение типовых задач

Предел функции

При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.

, где f(x) – непрерывная в точке а функция, a – число.

Непосредственное применение теорем о пределах не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Так, если числитель и знаменатель дроби  (при вычислении) одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, тогда говорят, что дробь представляет собой неопределенность типа  или . Чтобы найти предел такой дроби, надо раскрыть неопределенность. Для раскрытия неопределенности существует несколько стандартных приемов.

Пример 1. Вычислить  

Решение. Применяя основные теоремы о пределах, имеем

 .

Видно, что данная дробь представляет собой неопределенность типа , для раскрытия этой неопределенности преобразуем данную дробь, разделив числитель и знаменатель на старшую степень многочлена, в данном примере на , от этого величина дроби не изменится:

Таким образом, деление числителя и знаменателя дроби на старшую степень многочленов позволило от бесконечно больших величин перейти к бесконечно малым и тем самым раскрыть неопределенность.

Пример 2. Вычислить

Решение. Непосредственное применение теорем о пределе дроби приведет к неопределенности типа . Действительно, и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при . Для раскрытия данной неопределенности избавимся от иррациональности в числителе дроби, для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а именно на , в результате чего получим:

Итак, при наличии в дроби иррациональности (если дробь представляет собой неопределенность типа ), умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, раскроем неопределенность.

Раскрытие неопределенности типа  возможно осуществлять и с помощью первого замечательного предела:  

Пример 3. Вычислить

Решение. Если подставить предельное значение, получим неопределенность типа . Применив формулы тригонометрии, преобразуем числитель и знаменатель дроби: , тогда

.

Умножим и числитель, и знаменатель на , получим:

.

Согласно первому замечательному пределу получим:

Следовательно, 

Отметим, что при применении первого замечательного предела, бесконечно малая величина, стоящая под знаком синуса и в знаменателе должна быть одна и та же.

Помимо неопределенности типа  и , существуют неопределенности типа: 

Для раскрытия неопределенности  используют второй замечательный предел в одной из формулировок:

.

Пример 4. Вычислить следующие пределы:

а)  ; б) .

а) 

 

б) Подставляя предельное значение, получаем неопределенность типа , преобразовав выражение под знаком предела, раскроем неопределенность. Для этого к выражению, стоящему в скобках, прибавим единицу и вычтем единицу. От этого выражение не изменится. Показатель степени умножим и разделим на , получим:

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).

Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Производная функции Основные правила нахождения производной

Дифференциал функции Пример. Найти .

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где   – монотонная, дифференцируемая функция; б)   – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

.  (6.1)

Во втором случае:

.  (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 12.

  (положим   тогда


Решение типовых задач по математике