Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона - Лейбница).

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

Решение

1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения .

2) Найдем :

,

так как , то функция  является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

Метод подстановки (замены переменных). Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле

3) Точка пересечения с осью  определяется равенством , т.е.

.

Точка пересечения с осью  определяется равенством :

,

т.е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат .

4) Так как при  и  не выполняется первое условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как

 и .

5) Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения:  и .

Найдем уравнения невертикальных асимптот, для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :

,

.

Следовательно, прямая  является наклонной асимптотой при  и .

6) Найдем производную :

.

Для того чтобы найти критические точки первого рода, решим уравнение:  и выясним, в каких точках не существует . Уравнение  равносильно уравнению  или , отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т.е. при , . Таким образом, получили пять критических точек первого рода: , , , , .


7) Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.


Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 3.2).

Например: ;

; .

Так как при переходе через критические точки  производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при  достигается минимум функции, а при  – максимум. Кроме того, на интервалах  и  функция возрастает, а на интервалах ,  и
  – убывает.

8) Найдем :

.

Определим критические точки второго рода. Приравняем вторую производную к нулю:

,

это уравнение равносильно уравнению , откуда .

Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки второго рода: , , .

9) На числовой оси отложим все критические точки второго рода и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 3.3):

,

.


При переходе через точку  вторая производная меняет знак, следовательно,  – точка перегиба графика функции. На интервалах  и  график функции является выпуклым, а на интервалах  и  – вогнутым.

10) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:

.

Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: .

11) Полученные данные занесем в таблицу:.

0

(0, 1)

1

0

0

+

0

+

+

+

Теперь построим график функции (рис. 3.4).

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа  и .

Исследование функций и построение их графиков

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

Пределы числовых последовательностей и функций. Образец выполнения типового расчёта № 1. Задание. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Решение типовых задач по математике