Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Введение в математический анализ 11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций. 12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).

Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x  +

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +).

Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к + (x +), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция y =  определена на интервале (0, +). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x

1

5

10

20

y

4

3

2,5

2,2

2,1

2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что = 2.

Разность  показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность
f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа , если x взять достаточно большим. Например,  = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть  – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f(x) – 2 <  для всех x > x0. Действительно, f(x) – 2 = , < , x >. Обозначив x0 = , получаем, что для всех x, если x > x0, то f(x) – 2 < . Итак мы показали, что  = 2.

Пример 2. Функция y =  определена на (–2, +). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

x

0

1

2

3

10

98

998

y

0

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что  =1. Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа  при достаточно больших x. Для этого решим неравенство  < , получим:  2 + x > , и x >  – 2. Обозначим: x0 = 2. Таким образом, если x > x0, то
| f(x) – 1| < . Например, возьмем в качестве  число 0,01, тогда:

x0 =  – 2 = 300 – 2 = 298, x0 = 298.

Если x > 298, то  < 0,01. Этим мы показали, что  = 1 (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x +.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +, если для любого положительного числа  найдется такое число x0, что для всех x, больших x0, выполняется неравенство:

f(x) – b | < 

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

f(x) = b означает  > 0 x0 x > x0 ( | f(x) – b | <  ).

Пример 3. Доказать, что  = 0 x  (0, +).

Доказательство: f(x) = . Зафиксируем произвольное  > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < . Действительно,

| f(x) – 0 | =  = ;
<   x > .

Обозначим: x0 = , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < , значит,   = 0.

Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x +. Неравенство:
| f(x) – b | <   равносильно двойному неравенству: b –  < f(x) < b + . Из определения предела следует, что по произвольному  > 0 найдется такое x0, что для всех x, больших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + , y = b – .

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n), n  N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x®+Ґ.

Число b называется пределом последовательности {an}, если для любого  > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | an – b | < . Обозначение: an = b.

Доказать самостоятельно, что  = 0.

Предел функции при x -

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к – (x  –), если для любого положительного числа  существует такое x0, что для всех x, меньших x0, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < . Обозначение: f(x) = b.

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному   > 0 найдется число x0, такое, что для всех x, меньших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + , y = b – .

Доказать самостоятельно, что  = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x  + или x  –. Например, sinx не существует, так как значения sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sinx. Последовательность: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом.

Функции Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Предел функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Решение типовых задач по математике