Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

Площадь в полярной:

За базовую фигуру в полярной системе принимается криволинейный сектор, ограниченный ρ=ρ(φ), φ=α φ=β. Предполагаем, что ρ=ρ(φ) – непрерывна на [α,β]. Для вычисления площади примем алгоритм составления интегральной суммы к последующим предельным переходом к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок [α,β] на n элементарных отрезков α= φ0< φ1< φ2<… < φn= β

Δ φk = φk-1- φk

2. На каждом из отрезков [φk-1- φk] k=1,n выбираем произвольную точку Θk и найдем ρk=ρ(Θk) k=1,n

Каждый криволинейный сектор заменим на круговой сектор с радиусом ρk

3. Площадь кругового сектора Sk= ρ2(Θk)Δ φk

S==  ρ2(Θk)Δ φk

4. За точное значение SOAB примем интегральную сумму при λ=

S=

Длина дуги в ДСК:

Пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на [a,b] и кривая L – график этой ф-ии. Требуется найти длину плоской кривой L, заключенной между вертикальными кривыми x = a, x = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] точками x0=a, x1, x2,…, xn=b на n частей. Через точку xk, k=1,n проведем вертикальные линии параллельные Oy до пересечения с кривой L. Дуга AB разбивается на n частей. Соединим соседние точки отрезками и получим ломанную, вписанную в дугу AB.

2. ln =  l ≈ ln - ломаная

3. Mk-1Mk – длина стягивающей хорды. Т.к. Mk-1 (xk-1; f(xk-1)), Mk (xk; f(xk))

Δl = | Mk-1 + Mk| =  по теореме Лагранжа

  ξk[xk-1, xk]

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x0 = a < x1< x2<… < xn = b

обозначим Δxk = xk-xk-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [xk-1- xk] выберем произвольным образом ξk S(ξk)= πf2(ξk) (S=πR2)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξk). Тогда объем частичного цилиндра: ΔVk = S(ξk)Δxk = πf2(ξk)Δxk 

4.

9. Понятие несобственного интеграла I рода.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (I рода) от непрерывной ф-ии y=f(x) на промежутке [a, ∞) называется предел интеграла.

I(b)= =

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем (без док.) Геометрический смысл. Среднее значение функции.

Теорема (Ньютона-Лейбница, формула) Если F(х)- есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(х), то справедлива формула: .

Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать) Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике