Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий. 55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Понятие частной производной ФНП. Геометрический и физический смысл. 

Определение.

 Частной производной z'x функции z=f(x;y) по независимой переменной x называется предел отношения частного приращения функции Δxz по переменной x к приращению аргумента Δx при условии, что Δx→0

Геометрический смысл частных производных.

Пусть функция z=f(x,y) определена на плоском открытом множестве G и имеет частный предел  (x0,y0).

По определению частной производной  (x0,y0)

Частная производная  (x0,y0) – есть тангенс угла касательной к графику функции в точке (x0,y0,f(x0,y0)).

Аналогично геометрический смысл  (x0,y0)-тангенс угла наклона касательной к графику функций

 в точке (x0,y0,f(x0,y0)).

Физический смысл частной производной.

Физический смысл состоит в том, что она определяет скорость изменения функции z=f(x,y) в т. (x0,y0) в направлении оси х и у.

Понятие дифференцируемой ФНП в точке

Функция у=f(х) называется дифференцируемой в т. x0 , если

Пусть u=f() определена на множестве D и М()–внутренняя точка D.

Пусть ∆u=– полное приращение функции u=f(u) в т. , отвечающие приращениям

Определение

Функция u=f(M) называется дифференцируемой в т. U() –если ее полное приращение в этой точке имеет вид , где -числа(1,2..n), -бесконечно малое высшего порядка малости, чем .

22. Понятие полного приращения и полного дифференциала. Геометрическая интерпретация

Полное приращение функции z=f(x;y) в точке  (,) называется разность

Геометрически частные производные можно изобразить отрезками:

Дифференциалом функции u=f() в т.  называется линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции.

Обозн.:

С геометрической точки зрения дифференциал представляет приращение ампликаты касательной плоскости (n=2).

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.

Непрерывность ФНП

Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие

Теорема о дифференцировании сложной функции

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Решение типовых задач по математике