Производная и дифференциал функции двух переменных вычисление площади плоской фигуры Понятие частной производной ФНП. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка Знакопеременные ряды.

Курс высшей математики решение задач

Курс "Высшая математика" изучается в I и II семестрах. На его изучение отводится 36 лекционных часов и 36 часов практических занятий, принимается экзамен в I семестре и проводится зачет во II семестре. Основное внимание уделяется дифференциальному и интегральному исчислению функций одной независимой переменной, составлению и решению простейших дифференциальных уравнений, а также применению методов математической статистики для обработки и анализа результатов измерений и медико-психологических исследований.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы).

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэф-ми.

Ур-е у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) : Pi=const

Метод неопр-х коэф-в можно применять если правое ур-е имеет следующий вид: f(x)=,, -многочлены степени g и r соотв-но a и b некоторые числа. В основе метода неопр-х коэф-в лежит знание формы частного решения, а именно частное решение стоит искать в аналогич-ой форме свободного члена.

Вид правой

части (f(x))

Корни харак-го

уравнения

Вид частного решения

y*

1

P(x)=Ax+Ax+…

+Ax+ A

а) число 0 не явл-ся

корнем хар-го ур-я

б) число 0 явл-ся

корнем хар-го ур-я

кратности

а) y*=bx+bx+…+

+b

б) y*=x(Bx+Bx+…

+B)

2

P(x)e= e( Ax+

+Ax+…+Ax+ A)

p-действ-е число

а) число p не явл-ся

корнем хар-го ур-я

б) число p явл-ся

корнем хар-го ур-я

кратности

a) y*= e( bx+bx+…+

+b)

б) y*= ex( bx+bx+…+

+b)

3

P(x)cosgx+Q(x)singx

g-число

а) число gi-не явл-ся

корнем хар-го ур-я

б) число gi-явл-ся

корнем хар-го ур-я

кратности

а) y*=(x)cosgx+(x)singx

б) y*=x((x)cosgx+(x)singx)

4

P(x)ecosgx+ Q(x)esingx

а) число gi-не явл-ся

корнем хар-го ур-я

б) число gi-явл-ся

корнем хар-го ур-я

кратности

а) y*=(x) ecosgx+(x)singx

б) y*= x((x) ecosgx+

+(x)singx)

Замечание к таблице: 1)степени многоч-ов P и Q в случаях (3) и (4) можно считать одинаковыми, если они различны, то коэф-ты при недостающих степенях одного из многоч-ов можно считать=0.

2)правая часть ур-я может содержать несколько слагаемых; в этом случае сост-ся из неск-ких слагаемых в соотв-ии с  Теоремой о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ

Метод вариации производных постоянных(метод Лагранджа).

Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.

Например: ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P(x)y’+P(x)y=f(x) (1) пусть y(x) и y(x)-ФСРЛОДУ

y”+P(x)y’+P(x)y=0  (x)= Cy(x)+Cy(x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C и C не постоянными, а неизв-ми функциями от x.

y*= C(x)y(x)+C(x)y(x), y*= C’(x)y(x)+C(x)y’(x)+C’(x)y(x)+ C(x)y’(x)

Пусть C(x) и C(x)  C’(x)y(x)+ C’(x)y(x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C(x)y’(x)+ C(x)y’(x); y* ”= C(x)y’(x)+ C(x)y”(x)+ C’(x)y’(x)+ C(x)y”(x).

Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C(x)[ y”(x) + P(x)y’(x) + P(x) y(x)] + C(x)[ y”(x) + P(x)y’(x) + P(x) y(x)] + C’(x)y’(x)+ C’(x)y’(x)=f(x). Т.к. y(x), y(x) решения ОДУ, то выражения []=0  C’(x)y’(x) + C’(x)y’(x)=0.

Объясним два условия и (3):

 


 C’(x)y(x)+ C’(x)y(x)=0

 C’(x)y’(x)+ C’(x)y’(x)=f(x) (4)

Неопр-е ф-ии C’(x) и C’(x).

Определитель этой системы: W[y, y]=0  решая систему мы получим C(x)=(x),

C(x)=(x) проинтегрируем и получим решение  C(x) и C(x) найдены. Подставим в y*.

Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии C(x) определяются из системы:

C’(x)y+ C’(x)y+…+ C’(x)y=0

C’(x)y’+ C’(x)y’+…+ C’(x)y’=0

……………………………………………

C’(x)y+ C’(x)y+…+ C’(x)y=0

C’(x)y+ C’(x)y+…+ C’(x)y=f(x)

Алгоритм решения ЛНДУ

1) найти ФСР однородного уравнения и записать его общее решение (ОУ)

2) записать частное решение неоднородного ДУ в форме общего решения ОУ считая Ci=Ci (x)

3) построить систему для определения Ci ‘(x) – решить ее

4) найти Ci (x) и подставить их в общее решение НДУ

Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение

Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Приложения определенного интеграла