Производная и дифференциал функции двух переменных вычисление площади плоской фигуры Понятие частной производной ФНП. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка Знакопеременные ряды.

Курс высшей математики решение задач

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка. 2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса. 3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Скалярное произведение векторов.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док).

Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда.

 -знакопеременный ряд.(1)

 -знакоположительный ряд.(2)

Теорема (критерий сходимости знакопеременного ряда).

 Если ряд (2) сходится, то и ряд (1)- сходится.

Доказательство:

  частичные суммы рядов (1) (2) соответственно.

Обозначив через - сумму положительных членов ряда (1), - сумму отрицательных членов ряда(1).Тогда =-=-

Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел его частичных сумм =-ограничены.

Так как ряд (2) знакоположительный, то - будут возрастающие, следовательно по теореме Вейерштрасса существует конечный предел этих последовательностей ()

Рассмотрим - число конечное, следовательно (1)- сходится. Ч.Т.Д.

При исследовании знакопеременного ряда на сходимость нужно всегда рассматривать ряд из абсолютных величин членов этого ряда.

Определение:

Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится знакоположительный ряд ,составленный из абсолютных значений его членов.

  Теорема (об абсолютно сходящемся ряде).

 Если ряд  сходится, то знакопеременный ряд  тоже сходится.

 Доказательство: 

  для ряда ;  для ряда состав. из модулей.

сходится по признаку сравнения.

Признак этой теоремы является достаточным, но не является необходимым.

Ряд -сходится;  ряд - расходится.

Определение:

Знакопеременный  ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин его членов расходится.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).

Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.

 Теорема Лейбница.

 Если =0 (1) и un un+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд

  (3) сходится.

Доказательство:

 Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):

S2k=. Их можно записать в виде S2k=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2k-1-u2k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S2kS2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S2k можно записать также и в виде S2k=u1-(u2-u3)-…-(u2k-2-u2k-1)-u2k, k=1,2,… , и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u2k>0, получаем, что S2k<u­1, т.е. последовательность {S2k} ограничена сверху.

Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S2k} следует, что она сходится.

Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S2k+1=S2k+u2k+1, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем   (6). Из (4) и (6) следует что .

Теорема доказана.

Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши

Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.). Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x). Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции

Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если   где то где   любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то   где   функция от

Пример 5.

При интегрировании положим   а также используем равенство   где   постоянная.

Пример 6.

При интегрировании положим , а также используем равенство   где   и   постоянные.


Приложения определенного интеграла