Пределы функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке Основные правила дифференцирования Производные и дифференциалы высших порядков Предел функции

Курс высшей математики решение задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Введение в математический анализ 11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций. 12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.

Теорема.  = 1 (первый замечательный предел).

Доказательство

1) Пусть  – положительный острый угол, докажем = 1. Предварительно докажем, что sin = 0 и cos = 1.

Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R,  АВ = Rsin. Так как |AB| < ||, то 0 < sin < . Если 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sin = 0. Докажем, что cos = 1. Так как cos = 1 – 2sin2, то на основании теорем о пределах получим:

cos = (1 – 2sin2) = 1 – 20 = 1.

Вычислим теперь .

Из рис. 1.12 видим, что

SOAC < SсекторOAC < SODC. (*)

SOAC = R2sin, SсекторOAC = R2, SODC = R2tg.

Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:

R2sin < R2 < R2tg. (**)

Деля все части неравенства (**) на положительное число R2sin, получим:

1 <  <  или 1 >  > cos (***)

Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при 0 получим:

 = 1 (ведь cos = 1).

2) Пусть x < 0, x = –, тогда  > 0, ===1.

Итак, доказано, что  = 1, , а потому .

С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.

Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х   + ¥, х ®¥, x ® x0 – 0, х ® x0 + 0), если a(х) = 0.

Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Основные теоремы о пределах

Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Решение типовых задач по математике