Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Курс «Детали машин» Надежность машин Соединения с натягом Резьбовые соединения Расчет шпоночных соединений Механические передачи Расчет на изгиб Редукторы На сайте prezidentnsk.ru металлическая мебель высокого качества.

Расчет на контактную прочность

Контактная прочность зубьев является основным критерием работоспособности большинства зубчатых передач. При выводе расчетной зависимости по условию контактной прочности рассматривают контакт зубьев в полюсе, где происходит однопарное зацепление и возникает выкрашивание; при этом контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами, равными радиусам эвольвент в полюсе зацепления р, и р2 (см. рис. 13.2 и 2.5). В немодифицированных передачах делительные и начальные окружности зубчатых колес совпадают.

Рис. 13.2. Схема к расчету зубьев

на контактную прочность:

/ — эпюра контактных напряжений

Наибольшее контактное напряжение в зоне зацепления определяют по формуле Герца (2.13):

Для получения расчетной зависимости выразим входящие в формулу Герца величины через параметры зацепления.

Силу F„, действующую по нормали (по линии зацепления) в точке контакта, определяют по окружной силе F, с учетом коэффициента нагрузки Кн (см. § 12.4). По формуле (13.6)

 

Окончательно формула проектировочного расчета закрытых цилиндрических стальных передач имеет вид

(13.12)

где аw — межосевое расстояние, мм; KH —коэффициент нагрузки (см. § 12.4);  T1 — вращающий момент на шестерне, Нм; [σ]H — допускаемое контактное напряжение, Н/мм2 (см. § 12.5). В соответствии со стандартом Ка (Н/мм2)'/3:

для прямозубых передач 450

для косозубых и шевронных передач 410

Полученное значение а„ округляют до ближайшего числа, кратного пяти. Для стандартных редукторов а„: 40; 50; 63; 71; 80; 90; 100; 112; 125; 140; 160; 180; 200; 224; 250; 260; 280; 300; 315 мм.

Формулу для проверочного расчета получим на основе формулы (13.11):

Ширина венца колеса

Ширину венца шестерни Ъх выполняют на 3...5 мм больше ширины колеса для компенсации возможного осевого смещения зубчатых колес из-за неточности сборки. Это условие важно при приработке зубьев, когда более твердая шестерня перекрывает по ширине менее твердое колесо.

Из формул (13.10) — (13.13) следует, что контактная прочность зубьев колес зависит от материала и габаритных размеров передачи и не зависит от модуля и числа зубьев в отдельности. По условиям контактной прочности при данном aw модуль зубьев и число зубьев могут иметь различные значения с условием соблюдения равенства:

Расчет на изгиб

Вторым из двух основных критериев работоспособности зубчатых передач является прочность зубьев на изгиб [см. формулу (13.9)]. При выводе расчетной зависимости принимают допущения:

Рис. 13.3. Схема к расчету зубьев на изгиб: 1 — усталостная трещина

В зацеплении находится одна пара зубьев.

Зуб рассматривают как консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой Fn, приложенной к зубу в его вершине (рис. 13.3). Эта сила действует под углом (90° - а') к оси зуба и вызывает в его сечениях напряжения изгиба и сжатия. Угол а' несколько больше угла зацепления aw, так как при расположении вершины зуба на линии зацепления NN ось зуба не совпадает с линией центров О,02 (см. рис. 13.2). Силу Fn переносят по линии зацепления до оси зуба и полученную точку О принимают за вершину параболы, которая определяет контур балки равного сопротивления изгибу. Точки А и В касания ветвей параболы и профиля зуба определяют положение опасного сечения зуба на изгиб. Зуб в этом сечении нагружен изгибающим моментом М= Fn h cos а'.

Сила трения в зацеплении и сжимающее действие силы Fn мало влияют на напряжение изгиба и поэтому не учитываются.

Выразив силу Fn через окружную силу Ft: Fn = Ft/cos αw, (см. рис. 13.2) с учетом коэффициента нагрузки KF, получим формулу для определения напряжения изгиба в опасном сечении АВ ножки зуба, расположенном в зоне концентрации напряжений (см. рис. 13.3):

Из-за меньшего числа зубьев зуб шестерни у основания более тонкий, чем у колеса; это отражено в большем значении коэффициента YFs (YFsl > YFs2). Для обеспечения примерно равной изгибной прочности зубьев шестерни и колеса шестерню делают более прочной, чем колесо.

Условие равной прочности на изгиб зубьев шестерни и колеса:

(13.15)

 

(13.16)

 

13.6. Последовательность расчета на прочность закрытых цилиндрических прямозубых передач 

Цель расчета — определение основных геометрических размеров передачи, обеспечивающих ее работоспособность, при этом необходимо стремиться к получению минимальных габаритов, массы и стоимости передачи.

Исходные данные для расчета: 1. Вращающий момент на валу шестерни Г, и частота вращения шестерни и,.

Циклограмма вращающих моментов или наименование типового режима нагружения.

Требуемый ресурс Lh.

Передаточное число и.

Схема механизма, уточняющая расположение колес относительно опор.

Последовательность расчета:

1. Выбирают материалы колес и назначают термическую или химико-термическую обработку (см. табл. 12.1). Определяют среднюю твердость поверхности и сердцевины зубьев колес.

2. Находят ориентировочное значение межосевого расстояния a'w, мм:

где T1 — вращающий момент на шестерне, Н ■ м.

Здесь коэффициент К выражает зависимость a'w от поверхностной твердости зубьев шестерни и колеса и имеет следующие значения:

3. Определяют допускаемые контактные напряжения (см. § 12.5):

а) по табл. 12.8 принимают базовые числа циклов напряжений NIIGI
и NHG2, соответствующие пределам контактной выносливости матери
алов шестерни и колеса;

б) определяют эквивалентные числа циклов нагружения зубьев ко
лес NHE1 и NHE2 за срок службы [см. формулы (12.1), (12.2)];

в) вычисляют коэффициенты долговечности Zm и ZN2 [форму
ла (12.11)], принимают значения коэффициентов шероховатости ZRl
и ZR2, коэффициента Zv, учитывающего окружную скорость (см. табл. 12.9),
коэффициента запаса прочности [s]H (см. § 12.5);

г) по формулам табл. 12.7 определяют пределы контактной вынос
ливости σmim1 и σmim2, соответствующие базовым числам циклов на
пряжений NHGl и NHG2 шестерни и колеса;

д) вычисляют допускаемые напряжения [σ]Н1 и [σ]Н2 для шестерни
и колеса [формула (12.10)], допускаемое напряжение [σ]Н для расчета
передачи на контактную выносливость (см. § 12.5).

4. Определяют допускаемые напряжения изгиба (см. § 12.5):

а) базовое число циклов напряжений, соответствующее пределу
выносливости зубьев при изгибе, NFG = 4 ■ 106;

б) определяют эквивалентные числа циклов нагружения зубьев ко
лес NFEt и NFE2 за весь срок службы [формулы (12.1), (12.2)];

в) вычисляют коэффициенты долговечности YN1 и YN2 [формула
(12.14)], принимают значения коэффициентов шероховатости YRl и YR2,
коэффициента YA, учитывающего реверс передачи, коэффициента запаса
прочности [s]F (см. § 12.5);

г) по табл. 12.10 определяют пределы выносливости зубьев при изги
бе σFlim1 и σFlim2 соответствующие базовому числу циклов напряже
ний 7Vf0;

д) вычисляют допускаемые напряжения [σ]F1 и [σ]F2 для шестерни
и колеса [формула (12.13)].

5. Определяют коэффициенты нагрузки Кн и KF (см. § 12.4):

а) по окружной скорости назначают степень точности передачи
(см. табл. 11.2) и по табл. 12.5, 12.6 выбирают коэффициенты КHv, KFv,
учитывающие динамическую нагрузку в зацеплении;

б) задаются коэффициентом ширины венца ψba (см. § 13.4); по
формуле (12.6) находят коэффициент ум и по табл. 12.3 выбирают
значение коэффициента ψba для зубчатого колеса с меньшей твердо
стью; по табл. 12.4 выбирают значение коэффициента Кw для того же
колеса; по формуле (12.7) рассчитывают KHβ; находят значение коэф
фициента KFβ [формула (12.9)];

в) по формуле (12.5) определяют значение коэффициента КНа,
учитывающего распределение нагрузки между зубьями; KFa = КHа.

г) значения коэффициентов нагрузки Кн и KF находят по формулам
(12.4) и (12.8), принимая значение коэффициента КA=1.

Уточняют предварительно найденное значение межосевого расстояния [формула (13.12)].

Вычисляют ширину венца колеса Ьг = ψba ат находят ширину шестерни bх = b2 + (3...5) мм, округляют полученные значения Ьх и Ь2 до ближайших целых значений в мм.

Ранее отмечалось, что условие b1 > Ь2 важно при приработке зубьев, когда более твердая шестерня перекрывает по ширине менее твердое колесо.

8. Определяют нормальный модуль т зубьев. Минимальное значение модуля
mmin находят из условия прочности по формуле (13.16). Максимально до
пустимый модуль вычисляют из условия неподрезания зубьев у основания:

(13.19)

Модуль т из полученного диапазона принимают по табл. 11.1, учитывая следующие соображения. Меньшие значения модуля зацепления и соответственно большие числа зубьев способствуют уменьшению удельного скольжения, что снижает опасность заедания. При малом т больше коэффициент перекрытия (выше плавность работы) и КПД, меньше шум, уменьшаются размеры заготовки и трудоемкость нарезания колес, заметно снижается отход металла в стружку.

Однако принимать т < 1 мм в силовых цилиндрических передачах не рекомендуется из-за опасности разрушения зуба при кратковременных перегрузках (в период пуска, торможения) или вследствие неоднородности материала и износа.

При больших модулях выше изгибная прочность зубьев, передача менее чувствительна к изменениям межосевого расстояния, вызываемых неточностью изготовления и упругими деформациями валов и опор.

9. Определяют число зубьев шестерни zx и колеса Zv Для этого находят суммарное число зубьев

(13.20)

Суммарное число зубьев должно быть целым числом. Поэтому иногда приходится  изменять значения aw и т или применять смещение

инструмента (модификацию). Числа зубьев шестерни Z\ и колеса z2 вычисляют по формулам

 (13.21)

Значение zt округляют до целого. Для прямозубых зубчатых колес, нарезанных без смещения инструмента, zmin = 17. Если при расчете получается z1 < 17, то это означает, что для данной передачи более опасными являются изгибные, а не контактные напряжения. В этом случае следует применять смещение инструмента или принимать Z1 = 17. Тогда z2 = 17u. Новое значение d’1 = mz1 больше прежнего и можно уменьшить ширину венца: b'2 = b2dl/d'l.

Выше отмечалось, что желательно иметь большее число зубьев шестерни. Рекомендуется z1 = 18...35.

Вычисляют фактическое передаточное число иф с точностью до 0,01.

Выполняют проверочный расчет на контактную прочность по формуле (13.13).

Если расчетное напряжение σн меньше допускаемого [σ]H в пределах 10...15 % или σн больше [σ]H в пределах 5 %, то ранее принятые параметры передачи принимают за окончательные. В противном случае необходим перерасчет. Можно изменить ширину венца колеса Ъг. Если эта мера не даст должного эффекта, то либо изменяют межосевое расстояние, либо назначают другие материалы колес или другую термообработку, и расчет повторяют.

Вычисляют силы в зацеплении [формулы (13.6), (13.7)].

Проводят проверочный расчет на прочность при изгибе для зубьев шестерни и колеса [формула (13.14)].

Если о> значительно меньше [σ]F, то это допустимо и говорит о том, что нагрузочная способность передачи ограничена контактной, а не изгибной прочностью. Если σF >[σ]F, то увеличивают значение модуля т, соответственно изменяя Zi, Z2, и повторяют проверочный расчет передачи на изгиб. При этом межосевое расстояние не изменяется, а следовательно, не нарушается контактная прочность передачи.

Определяют основные геометрические размеры зубчатых колес [формулы (13.2... 13.4)]. Делительные диаметры подсчитывают с точностью до 0,001 мм.

Проверяют пригодность заготовок колес. Чтобы получить при термообработке ранее принятые для расчета механические характеристики материалов шестерни и колеса (см. табл. 12.1), необходимо выполнить условие пригодности их заготовок:

 

Для колеса с выемками (см. рис. 11.27, 12.1) за толщину Sзаг сечения заготовки принимают большее из двух значений:

Sзаг = 0,46 и Sзаг = 8m

Для колеса без выемок — монолитного (см. рис. 11.26) —

Sзаг = Ьг + 4 мм.

Если условие пригодности заготовки не выполняется, то изменяют материал колес или вид термообработки и расчет повторяют.

Расчет на прочность открытых цилиндрических передач

Открытые цилиндрические передачи выполняют с прямыми зубьями
и применяют при окружных скоростях колес v<2 м/с. В этом случае
назначают 9-ю степень точности зубчатых передач по нормам плавностии контакта. Размеры передачи определяют по аналогии с приведенным выше расчетом закрытых передач на контактную прочность зубьев с последующей проверкой на изгиб. При расчете открытых передач принимают допускаемые напряжения:

 

Из-за повышенного изнашивания зубьев открытых передач значение модуля рекомендуется принимать в 1,5 раза большим, чем для закрытых передач тех же размеров.

Контрольные вопросы

В каких случаях применяют цилиндрические прямозубые передачи?

Как из формулы Герца выводят формулу для расчета рабочих поверхностей зубьев на контактную прочность? Что учитывают коэффициенты ZF, Z„ и Д, входящие в формулу?

От каких параметров стальной прямозубой передачи зависят контактные напряжения? Как можно уменьшить величину контактных напряжений?

Как влияет на размеры передачи коэффициент ширины венца v|/So?

Какие допущения принимают при выводе расчетной формулы для проверки зубьев на прочность при изгибе? Порядок вывода этой формулы.

Почему коэффициент YFs называют коэффициентом формы зуба и концентрации напряжений? От каких параметров зависит его величина?

Каково условие равной прочности на изгиб зубьев шестерни и колеса?

Почему ширину венца шестерни делают больше ширины венца колеса?

Как влияет число зубьев шестерни на работу передачи?

10. Какие рекомендации принимают во внимание при выборе модуля зацепления?

Различают разрушение под действием однократного нагружения и при действии переменных нагрузок, что свидетельствует о недостаточной статической, малоцикловой и усталостной прочности. Оценка прочности обеспечивается проведением соответствующих расчетов по определению напряжений и сравнения их с допускаемыми (пределом прочности, текучести или выносливости). Жесткость — способность детали, сборочной единицы или машины сопротивляться изменению положения и формы под влиянием внешних нагрузок. Жесткость влияет на величину внутренних силовых факторов в статически неопределимых конструкциях, а контактная — на точность работы машины. Недостаточная жесткость приводит к неравномерному распределению нагрузок (по длине зубьев колес при изгибе и кручении валов) и к снижению долговечности отдельных узлов машины (подшип­ников качения при относительном перекосе их колец).
Расчет на прочность сварных соединений