Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи операционное исчисление

  Задача . Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

 

 

 

 

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

 

Характеристическое уравнение имеет вид

 .

или .

  Его корни, очевидно, .

Найдем соответствующие им единичные собственные векторы . Решим систему

 

 =0.

 Подставляем по очереди .

 При  имеем

 .

 Элементарными преобразованиями приводим матрицу системы к виду:

 ;

, следовательно система имеет бесчисленное множество реше­ний, зависящих от параметра.

  Возьмем  за параметр, тогда .

Полагаем , тогда

.  При  имеем .

Матрицу  приводим к виду

 ;

-параметр.

Полагаем , следовательно

 .

При   имеем

 =0,

 ;

-параметр.

Полагая , получаем

 .

Нормируем собственные векторы. , откуда

 .

  и значит, 

 .

, и

 .

 Формируем матрицу преобразования , беря в качестве ее столбцов собственные векторы .

 Получаем 

 .

 Очевидно, , то есть система  будет правой системой координат . Итак, имеем преобразование . В координатной форме:

 (*)

= 

 Если принять во внимание формулы преобразования при повороте координатных осей

 

 

то нетрудно видеть, что преобразованию (*) соответствует поворот координатных осей ,  вокруг оси  на угол

Заметим, что  при этом преобразовании не меняется. Очевидно, что , то есть . Относительно новых осей квадратичная форма . Нетрудно найти матрицу квадратичной формы в новом ба­зисе:. Имеем

 .

 Уравнение поверхности относительно нового базиса:

 .

 Оси ,лежат в плоскости 

Ясно, что это конус,

вытянутый вдоль оси , с вершиной в начале координат. 

Так как уравнение не содержит линейных относительно и слагаемых, то параллельного переноса не требуется (рис.4).


Математика задачи курсового и типового расчета