Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи операционное исчисление

Числовые ряды с неотрицательными членами.

Достаточные признаки сходимости

Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство: рассмотрим ряд с неотрицательными членами .Тогда для последовательности частичных сумм справедливо неравенство . Поэтому последовательность  монотонно возрастает и по признаку существования предела , то есть последовательность частичных сумм  ограничена сверху.
Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами:

 (3)

   (4)

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами (3) и (4) и для всех n выполняется неравенство  Тогда из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда . Другими словами, из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами - расходимость ряда с большими членами.
Доказательство: 1. Пусть ряд  сходится. Тогда существует предел , где - n-ая частичная сумма этого ряда. 

 Пусть , так как  для , то . Так как - ряд с неотрицательными членами, то -монотонно возрастающая последовательность и ограничена сверху, следовательно, согласно лемме существует предел , что и означает сходимость ряда .
2. Если ряд  расходится, то расходится и ряд , так как если бы он сходился, то в силу доказанного сходился бы и ряд .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда  и  с положительными членами и существует конечный предел  . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство: Пусть существует то по определению имеем, что
  Перепишем последнее неравенство в виде   или  так как , получаем
1. Если ряд   сходится, то согласно алгебраическим свойствам сходится и ряд , тогда ряд  сходится по признаку сравнения как ряд с меньшими членами.
2. Если ряд расходится, то согласно алгебраическим свойствам расходится и ряд , тогда ряд расходится по признаку сравнения как ряд с большими членами.
Упр. Случаи, когда ряд сходится (расходится) рассмотреть самостоятельно.
Замечание. Ряд   называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Он сходится при  и расходится при .

При работе с предельным признаком сравнения в качестве ряда (4) чаще всего берут ряд Дирихле.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд  с положительными числами и существует предел . Тогда при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, при l =1 признак ответ на вопрос о сходимости ряда не дает.
Признак Коши. Пусть дан ряд  с положительными числами и существует предел . Тогда при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, при l =1 признак ответ на вопрос о сходимости ряда не дает.
Интегральный признак. Пусть дан ряд с положительными членами ,  Если существует невозрастающая непрерывная функция , заданная при , такая что  тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно сходимости несобственного интеграла


Математика задачи курсового и типового расчета