Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи операционное исчисление

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

 ,  (5)

а также ряд из абсолютных величин

  (6)

Если сходится ряд из абсолютных величин (6), то ряд (5) называют абсолютно сходящимся. Если ряд (5) сходится, а ряд из модулей (6) расходится, то ряд (5) называют условно сходящимся.

Отметим, что на абсолютно сходящиеся ряды переносятся основные свойства конечных сумм:

Теорема Дирихле. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не меняется.

Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна  S1+S2 (или соответственно S1-S2 ).

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2. 
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи их членов.

 Теорема Римана. Если числовой ряд сходится условно, то задав любое число А, можно так переставить члены ряда, что его сумма окажется равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходящимся.

 Теорема. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Если сходится ряд из модулей (6), то знакопеременный ряд (5) тоже сходится.

Доказательство: обозначим  - частичную сумму ряда (5), а - частичную сумму ряда (6). Ряд (6) сходится, значит , причём для любого номера , так как члены ряда (6) положительны.

Пусть  и   - сумма абсолютных величин исходного ряда (5), входящих в него со значением «плюс» и «минус» соответственно.

Тогда   и = <

Последовательности  и  являются возрастающими и ограниченными (< и <), значит, на основании леммы, существуют пределы , . Тогда существует предел частичной суммы ряда (5) , то есть ряд (5) сходится. Теорема доказана.
Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена его противоположны по своим знакам. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

  (7)

где

 Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда  где  выполнены условия: а); б)

то ряд сходится и его сумма не превосходит , а остаток .

Замечание. Признак Лейбница дает условную сходимость ряда.


Математика задачи курсового и типового расчета