Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Степенные ряды

Функциональный ряд вида

,  (10)

где  называется степенным рядом. Числа  называются коэффициентами степенного ряда (10).

Если, то ряд имеет вид  (11)

Степенной ряд (11) всегда сходится в точке . Если, то ряд (11) может сходится, а может расходится.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд (11) сходится в точке, то он сходится абсолютно во всякой точке . Если в точке степенной ряд (11) расходится, то он расходится во всех точках  таких, что .

Доказательство. По условию теоремы числовой ряд  сходится. Согласно необходимому условию . Следовательно, последовательность  является сходящейся. Значит она ограничена, т. е.   такое, что . Так как , рассмотрим ряд  Запишем соответствующий ряд из модулей

В силу неравенства ограниченности   получим мажорирующий ряд ,

  который является геометрической прогрессией со знаменателем , так как . Значит ряд сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд из модулей. Значит исходный ряд тоже сходится.
Если в точке степенной ряд (11) расходится, то он расходится во всех точках  таких, что . Действительно, если бы ряд (11) сходился в точке , то по теореме Абеля он сходился бы в точке , что противоречит условию. Теорема доказана.
Радиусом сходимости степенного ряда (11) называется неотрицательное число R такое, что при всех  ряд сходится, а при всех  ряд расходится.

Если ряд (11) сходится только в точке , то ; если ряд сходится для всех, то .

Теорема. Если существует предел , то радиус сходимости  ряда (11) равен . Доказательство. Рассмотрим ряд. Применим к нему признак Даламбера. Имеем:

.

Отсюда следует, что если , то ряд  сходится, и ряд (11) сходится абсолютно.

Если , то ряд (11) расходится, так как и, следовательно, общий член ряда  не стремится к нулю при .

Теорема. Если существует предел , то радиус сходимости ряда (11)

Упражнение. Доказать теорему самостоятельно.
Заметим, что если , то , если же , то

 Интервалом сходимости ряда (11) называется интервал вида , а
интервалом сходимости ряда (10) называется интервал вида .

Свойства степенных рядов

  Рассмотрим степенной ряд (11), интервал сходимости которого равен   На этом интервале ряд имеет сумму, обозначим её через , т. е.

.  (12)

Сумма степенного ряда  является функцией непрерывной на интервале сходимости .

Сумма степенного ряда является функцией дифференцируемой на , причём, производную можно найти по формуле:

   (13)

В этом случае говорят, что степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.

Заметим также, что это утверждение можно применять снова уже к степенному ряду (13). Это означает, что сумма степенного ряда является функцией бесконечно дифференцируемой на .

Для любого отрезка справедлива формула

 ,  , (14)

т.е. интеграл от суммы степенного ряда по любому отрезку  может быть вычислен почленным интегрированием ряда (12).

 4. Степенные ряды  и ,

имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

Все вышесказанное справедливо для рядов вида (10) на интервале , где - R радиус сходимости ряда (10).


Математика задачи курсового и типового расчета