Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Разложение функций в степенные ряды.
Если функция   является суммой ряда
 (10),  то есть , (15) 
где, то говорят, что функция  разлагается в степенной ряд по степеням. Разложение функции в степенные ряды является одной из важнейших задач, так как тогда функцию можно приближенно заменить суммой нескольких первых членов ряда, то есть многочленом.
Теорема. Если функция f(x) разлагается на интервале сходимости в сходящийся степенной ряд, то это разложение единственно.
Доказательство. Пусть функция f(x) разлагается в степенной ряд

Тогда этот ряд можно почленно дифференцировать сколь угодно раз на интервале сходимости:


……………………………………………………………………
.

Полагая , находим, что ,  

Тогда  (16)
Подставляем (16) в ряд (15), получим формулу (17)
. (17)

 Из приведённых выше рассуждений следует, что разложение в ряд (17) единственно. То есть если имеются два разложения по степеням  одной и той же функции , то эти разложения имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях
Ряд (17) называется рядом Тейлора функции в окрестности точки.

Если = 0 , то ряд (17) называется рядом Маклорена и имеет вид . (18)

Однако если просто предположить, что функция  имеет в окрестности точки  производные любого порядка, т.е. бесконечно дифференцируема в окрестности точки, и формально составить для нее ряд Тейлора, то неоткуда не следует, что этот ряд сходится при . Если же полученный ряд сходится, то необязательно к функции f(x).
Частичная сумма ряда (17) называется многочленом Тейлора . Остаточным членом формулы Тейлора называется разность Рассмотрим остаточный член в форме Лагранжа
 (19)
Теорема (критерий сходимости ряда Тейлора). Для того чтобы ряд Тейлора, составленный для бесконечно дифференцируемой функции f(x) сходился на интервале сходимости и имел своей суммой f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю на указанном интервале.
На практике пользуются следующим утверждением.
Теорема (достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции f(x)).

Если функция  является бесконечно дифференцируемой на интервале  и все её производные ограниченны одной и той же постоянной М на, то ряд Тейлора (17) сходится к функции  на этом интервале.

Доказательство. По условию теоремы  Рассмотрим остаточный член в форме Лагранжа (19). Тогда  Это согласно критерию сходимости и означает сходимость ряда Тейлора к функции f(x).

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1.   Тогда  Подставляя все в формулу (18), получим разложение  (19)
Докажем, что полученный ряд сходится и имеет своей суммой функцию  Сначала найдем область сходимости. Так как  то ряд сходится на всей числовой прямой. Полученный ряд сходится к функции  так как на любом отрезке  функция и все ее производные ограничены одним и тем же числом, например

2.  Найдем n-производную этой функции. Вычислив, что … получим  После подстановки в (18) получим ряд
  (20)

Так как  то по достаточному условию сходимости получим, что ряд сходится к функции

Упр. Получить самостоятельно, что
 (21)


Математика задачи курсового и типового расчета