Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где ,

.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

  (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

  ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

  (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

  ,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

 , (5)

где

.

Выражение  в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор

при этом, .

Функциональные ряды

– функциональные ряды, fn(x), f(x) – функции от , где D – область сходимости ряда.

Примеры функциональных рядов:

1) – степенной ряд

2) – тригонометрический ряд Фурье

Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда.

Определение (равномерной последовательности на множестве EÌ D функциональной последовательности): 


Математика задачи курсового и типового расчета