Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

Исходные данные :

 

  (Рис. 1)

 Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке  конечное число точек разрыва первого рода.

 Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.

Рис. 1

 Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

  1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .

 2) F(x) - кусочно-монотонна.

  Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

  Из разложения видим, что при n нечетном  принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

Поэтому формулу для  можно записать в виде:

( так как ).

 Отдельно рассмотрим случай когда n=1:

.

  Подставим найденные коэффициенты в  получим:

и вообще

.

Признак Абеля – Дирихле.

Пусть дан функциональный ряд , xÎEÌ D. 

Признак Абеля

Если:

bn(x) – монотонная по n последовательность при фиксированном x.

Признак Дирихле

Если:

по n монотонно, по равномерно

То ряд  сходится равномерно на E. (без доказательства)

Примеры:

= f(x) = , xÎ(0; 2p) (без доказательства).


Математика задачи курсового и типового расчета