Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Комплексная форма ряда по косинусам

 Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

,

но при  не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :

(т.к.  см. разложение выше)

и случай когда n=-2:

 ( т.к. )

  И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение нечетной функции в ряд

 Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до  смотри рис.3

Рис.3

поэтому разложение по синусам имеет вид:

  Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.

 При n=1:

,

и при n=2:

 Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде

и вообще

 Найдем первые пять гармоник для данного разложения:

1-ая гармоника 

2-ая гармоника

3-ая гармоника 

4-ая гармоника 

5-ая гармоника 

  И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)

Вывод:

 На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.

Комплексная форма ряда по синусам

 Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:

  ,  (т.к. )

тогда комплексный ряд имеет вид:

Пример 7:

Рассмотрим подробнее уравнение :

 

Так как производная функции f(y) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).

Основные тины дифференциальных уравнений

1) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где  - непрерывна на некотором , а  непрерывна на , причем  на .  (метод разделения переменных). Интегрируя обе части, получаем . Обозначая   любую первообразную для , а  - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции . Это – общее решение.

Рассмотрим  пример такого уравнения

  интегрируя, получим .


Математика задачи курсового и типового расчета