Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Представление функции интегралом Фурье

Проверка условий представимости

 Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от   до  как равную нулю(рис.4).

Рис.4

а) f(x)-определенна на R;

б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на  - кусочнo-монотонна.

f(x) = const на  и .

  < .

Интеграл Фурье

 В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):

;

.

  И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:

Интеграл Фурье в комплексной форме

 Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:

,

,

а теперь получим интеграл в комплексной форме:

.

Следствие 3.

 => A – расходится.

Применим к исследуемому ряду признак Куммера (bn=n*ln(n) (доказательство расходимости данного ряда см. ниже)). Тогда

bnan/an+1–bn+1=n*ln(n)*(1+1/n+en)–(n+1)ln(n+1)=

(n+1)(ln(n)–ln(n+1))+n*ln(n)*en= -n*ln(1+1/n)–ln(1+1/n)+n*ln(n)*en-1, т.к. первое из слагаемых стремится (при n стремящемся к бесконечности) к -1, второе к 0, и 3 к нулю (т.к.ln(n)/n-> к 0).

Из доказанных выше признаков Даламбера, Раабе и следствия 3 получаем:

Признак Гауса. (без доказательства)

Пусть  

Тогда,

β<1 A – расходится.

β>1 A – сходится.

β=1  α≤1 A – расходится.

α>1 A – сходится. Доказательство следует из следствий 1- 3.


Математика задачи курсового и типового расчета