Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи контрольной работы

Представление функции полиномом Лежандра

Основные сведения

 Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

  Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :

. . . . . . . . . .

 Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:

,

  где  и разлагаемая функция должна  быть представлена на отрезке от -1 до 1.

Преобразование функции

  Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до  необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

 Замена:

и тогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда

 Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:

  Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:

  Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:

  А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

 

Рис. 5

т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

  На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.

Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными:    

.

Пример 1: Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны , после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.

рис.8

  =>  

Введем замену: y = zx  и рассмотрим один случай, когда

Сокращая на z, получаем  интегрируем равенство:

Возводим в квадрат z2 – 1 = C2x2 – 2Cxz + z2 

Таким образом, получено уравнение параболы.


Математика задачи курсового и типового расчета