Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Функциональные ряды

Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Тогда выражение , , задающее последовательное суммирование членов последовательности, называется функциональным рядом (сокр. ФР), множество   – область задания ФР.

Например,  – ФР с областью задания .

Проблематика:

понятие поточечной сходимости ФР (сокр. ), область поточечной сходимости; сумма ФР;

сохранение свойств слагаемых ряда для его суммы;

понятие равномерной сходимости (сокр. ) ФР; свойства суммы, равномерно сходящегося ФР.

ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА

При каждом фиксированном значении  ФР  становится числовым рядом  и его поведение поддается изучению (он может быть сходящимся или расходящимся).

Областью сходимости (абсолютной сходимости) ФР ,  является множество тех , для которых соответствующий числовой ряд сходится, т.е.

 – число : .

Здесь  – фиксированное число (точка) из области определения ФР,  – число,   – -я частичная сумма числового ряда, .

Будем говорить, что ФР  сходится поточечно к  на множестве , и обозначать

.

По аналогии с числовым рядом можно сформулировать критерий Коши (поточечной сходимости ФР):

.

Для нахождения области поточечной сходимости ФР можно пользоваться рассмотренными ранее признаками сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 1.  – сумма всех членов геометрической прогрессии, при   , т.е. ФР  сходится к  для каждого   из интервала ; для  и для  ряд расходится. Итак, область поточечной сходимости есть интервал , сумма ряда , .

Замечаем: 1) область определения ряда  не совпадает с областью сходимости ряда , ;

2) каждое слагаемое ряда  – ограниченная на  функция, а именно,    , но сумма ряда  на  ограниченной не является, поскольку :.

Итак, при поточечной сходимости ограниченность слагаемых ФР может не сохранится для его суммы.


Курс высшей математики решение задач