Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Равномерная сходимость ряда

Пусть ФР , т.е.  и  для каждого , .

Тогда для всякого , , можно решать задачу приближенного нахождения , а именно для  ( – погрешность приближения) можно указать номер  такой, что при   , т.е.  с погрешностью .

В другой точке , , по той же погрешности  приближение  реализуется, вообще говоря, для другого ,  и т.д.

Множество  может содержать бесконечное множество точек , для каждой из них по одному и тому же  находится свой номер   с указанными свойствами. Для бесконечного множества  может не существовать такого , что  сразу для всех . Это означает, что функция  не является приближением суммы ФР  на множестве  с погрешностью .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сходящийся (поточечно) на множестве  ФР  называется равномерно сходящимся на множестве , если , здесь выполнение неравенства предполагается для всех  из множества   сразу (одновременно).

Поэтому для равномерно сходящегося на  ФР имеем  с одной и той же погрешностью, значение  находится по погрешности.

ПРИМЕР 5. Покажем, что ФР  равномерно сходится на   (сокр. ФР ).

В самом деле, при любом фиксированном  ФР  знакочередующийся удовлетворяет теореме Лейбница, поэтому сходится; но сходится условно, т.к. ФР из абсолютных величин слагаемых исходного ряда расходится.

Используя следствие теоремы Лейбница, получаем оценку

, .

Отсюда для всех  сразу (одновременно)

 при ,

т.е. выполняется определение равномерной сходимости ФР на .

Замечание. Рассмотренный пример показывает, что понятия "равномерная сходимость ФР" и "абсолютная или условная поточечная сходимость ФР" не связаны.

КРИТЕРИЙ КОШИ (для равномерной сходимости ФР)

Пусть  ФР . Тогда 

 (см. [3], [4]).

Доказательство равномерной сходимости ФР на множестве  можно проводить не только по определению, но и с использованием достаточных условий равномерной сходимости ФР.

ТЕОРЕМА (признак Вейерштрасса)

Если для ФР , , существует числовой ряд  такой, что 1) ; 2) ; 3)  – сходится, то ФР .

Числовой ряд  с указанными свойствами (знакоположительный, "оценочный" и сходящийся) называется мажорантой для ФР , а сам ФР называется в этом случае мажорируемым на множестве .

Доказательство. Сходимость ряда  влечет выполнение критерия Коши (для числового ряда):  . Для соответствующего "отрезка" ФР по оценочному свойству мажоранты имеем

, т.е. для ФР выполняется критерий Коши и поэтому ФР .

ПРИМЕР 6. ФР из тригонометрических функций  равномерно сходится на , поскольку для него числовой ряд   является мажорантой на :

  сходится;  на .

Заметим, что признак Вейерштрасса определяет только достаточное условие равномерной сходимости ФР. Существуют равномерно сходящиеся на множестве   функциональные ряды, для которых не существует мажоранты (пример 5).


Курс высшей математики решение задач