Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Функциональные ряды в комплексной области

Понятия последовательности  функций комплексной переменной (сокр. ФКП), ФР ФКП   и его поточечной сходимости вводятся аналогично этим понятиям в действительной области. Область определения, область сходимости строятся на –плоскости.

ПРИМЕР 7. ФР  определен на всей –плоскости, но сходится поточечно на множестве ,

поскольку ФР

 

поточечно сходится (абсолютно) при любом  (достаточно применить признак Д'Аламбера к   при  – фиксированном); ФР   поточечно сходится (абсолютно) на  как сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии.

Одной из основных задач, решаемых для ФР ФКП, является так же, как и для ФР в действительной области, выявление условий, при которых какое-либо функциональное свойство слагаемых ряда переносится на его сумму.

Понятия периодичности, четности и нечетности, ограниченности, непрерывности в точке и непрерывности на множестве для ФКП вводятся аналогично соответствующим понятиям для функций действительного переменного, только вместо абсолютных величин следует использовать модули комплексных значений.

Понятие равномерной сходимости и обоснование теорем о свойствах суммы равномерно сходящихся ФР ФКП вводятся аналогично рассмотренным ранее (см. [5], [7]).

Таким образом, применимость арифметических действий (сложение, вычитание, умножение на число, умножение рядов) по отношению к ФР ФКП обеспечивается их абсолютной (поточечной) сходимостью в общих точках. Применимость действий анализа (переход к пределу, дифференцирование, интегрирование) требует равномерной сходимости рядов на общем множестве.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Для функционального ряда нужно уметь находить область поточечной сходимости.

ПРИМЕР. Пусть ФР задан в виде . Найдем область его поточечной сходимости.

Решение. . Положительнозначный ряд  сравним с рядом  – сходится ( для ).

Итак, исходный ФР сходится (поточечно) на , а также сходится равномерно на  в силу наличия мажоранты.

Задача 2. Наличие равномерной сходимости ФР устанавливается либо по определению, либо через построение мажоранты.

ПРИМЕР. Построить мажоранту для ФР  на , сделать выводы о сходимости ряда.

Решение. Имеем , т.е. . Поэтому для ряда  существует мажоранта: числовой положительнозначный оценочный на  ряд  (сходимость этого ряда устанавливается по интегральному признаку). Поэтому исходный ряд на  сходится абсолютно и равномерно.

Задача 3. С помощью ФР иногда вводится функция, как его сумма; по слагаемым ряда устанавливается свойства суммы ФР.

ПРИМЕР. Функция "дзэта от "  существует там, где ряд поточечно сходится, т.е. на , где  – произвольное, в том числе сколь угодно малое положительное число. Равномерная сходимость ряда имеет место на   при , поскольку числовой ряд  сходится и является мажорантой для исходного ряда на . Соответственно теоремам о свойствах суммы равномерно сходящегося ряда функция  непрерывна, дифференцируема и интегрируема на   .


Курс высшей математики решение задач