Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Разложение функций в степенные ряды

Пусть задана функция , имеющая определенные свойства в этой окрестности.

Ранее известна формула Тейлора , представляющая функцию  в виде суммы многочлена заданного порядка   по степеням разности  – многочлена Тейлора –

и остаточного члена  – погрешности приближения .

Если функция  в  имеет непрерывные производные  и для нее существует  в , то  (имеет "форму Лагранжа"), где точка   расположена между  и .

При  многочлен   переходит в степенной ряд. Сохранится ли равенство в формуле Тейлора, зависит от поведения  при .

Интуитивно ясно, что если , то ряд ; если же , то ряд .

Для всякой бесконечное множество раз дифференцируемой в  функции  можно решать следующие вопросы.

Проблематика:

1) построение ряда Тейлора ~ (функция "порождает" ряд);

2) поточечная сходимость ряда Тейлора к , область сходимости;

3) связь функций  и .

Пример 2:

При произвольной перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма может изменяться:

;

Теорема Римана (без доказательства).

Теорема: Пусть дан условно сходящийся ряд. Тогда: перестановка слагаемых, такая, что


Курс высшей математики решение задач