Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Ряды с положительными слагаемыми

Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Интегральный признак сходимости (или расходимости) знакоположительного ряда использует АНАЛОГИЮ между несобственным интегралом вида  и рядом , где , .

ТЕОРЕМА. Пусть задан числовой ряд  такой, что . Пусть существует функция , такая, что

1) ; 2) ;  3) .

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство

На  верно

неравенство

x

 
.

(Всякое слагаемое ряда можно представить как значение площади прямоугольника  с высотой   и длиной основания – расстояние между двумя соседними точками на оси ). Суммируя эти неравенства при , получим

.

Используя неравенства, получим требуемый результат (нужно обосновать четыре утверждения).

Например, пусть ряд  – сходится, т.е.  – конечное число, , причем для  имеем . Из правой части двойного неравенства  при  и условий, которым удовлетворяет функция , получаем сходимость несобственного интеграла . Аналогично в других случаях.

ПРИМЕР 4. . Рассмотрим , для нее условия 1 – 3 теоремы выполняются и ; при  , т.е. при  ряд  расхо-

дится; например, ряды  и  – расходятся.

При  , т.е. ряд  – расходится (см. ранее гармонический ряд).

При  

 – конечное число, т.е. при ,  ряд  – сходится.

Например, ряды , ,  – сходятся.


Курс высшей математики решение задач