Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье Необходимые условия разложения функции в тригонометрический ряд

ТЕОРЕМА. Пусть функция  интегрируема на  и разложена в тригонометрический ряд

, (4)

причем допустимо почленное интегрирование этого ряда и рядов, получающихся из него умножением на   и . Тогда 1)  –  – периодическая функция; 2) коэффициенты разложения  находятся единственным образом;
3) .

Доказательство. 1. Из равенства (4) имеем для всякого  

,

т.е.   – периодическая функция с периодом .

2. Обозначим период  через , тогда , .

Для нахождения  проинтегрируем равенство (4) на .
Поскольку для любого целого  имеем

, (5)

то получаем , т.е.

. (6)

Для нахождения  интегрируем равенство (4), предварительно умножив обе части его на . Тогда

.

Если , то

.

При   имеем

.

Интеграл   равен нулю при любых целых значениях  и , поскольку подынтегральная функция нечетная, а отрезок
интегрирования симметричен относительно . Окончательно
получаем  или

. (7)

Для нахождения , аналогично интегрируем на  функции равенства (4), умножив их предварительно на .
Получим

. (8)

Предположение о допустимости почленного интегрирования используемых рядов позволяет находить коэффициенты разложения (4) единственным образом.


Курс высшей математики решение задач