Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на .

Решение. Доопределим заданную функцию на  значениями . Получим функцию  на ; –периодически продолжим ее на числовую ось (см. рисунок). Воспользуемся формулами коэффициентов Фурье (12) и (13) четной функции.

Тогда

 ;

 (воспользовались вычислением интеграла  из предыдущего примера).

Окончательно имеем .

ПРИМЕР 13. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее нечетным образом на  значениями .

Получим функцию

Ее –периодическое продолжение  представлено графиком (см. рисунок). Поскольку  – нечетная на  функция, то согласно формулам (13) и (14) имеем

 ;

 

 (см. вычисления в приведенном ранее примере).

Итак, при нечетном продолжении функции ,  имеем  на ; .

Замечание. При использовании ТРФ функции желательно знать: для какого продолжения (четного, нечетного или еще какого-либо) ТРФ будет обладать лучшими свойствами сходимости. Оказывается
(см. [6]), характер сходимости ТРФ в этом случае определяется свойствами заданной функции в граничных точках , .

Если  или , то нечетное продолжение приведет к разрыву функции в точках , , . При четном продолжении функция не будет иметь этих разрывов. Именно поэтому разложение в ТРФ по косинусам в рассматриваемом случае обладает лучшими свойствами сходимости по сравнению с разложением по синусам. Кроме того, можно пронаблюдать, что при четном продолжении функции коэффициенты ряда убывают как , а при нечетном продолжении – как  (см. предыдущие примеры).

Если же , то, наоборот, разложение по синусам может оказаться лучше, чем по косинусам. Дело в том, что периодическое продолжение функции  нечетным образом иногда обеспечивает непрерывность не только самой функции, но и ее первой производной в точках  и , что и определяет существенное улучшение сходимости ТРФ. Можно пронаблюдать, что в этом случае коэффициенты ТРФ по синусам убывают со скоростью , которая является вполне удовлетворительной для многих приложений ТРФ.


Курс высшей математики решение задач