Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Пример. Показать, что ФКП  всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Решение. Имеем , . Функции , , ,  – непрерывны всюду на плоскости . Условия (4) легко проверяются для всех точек . Поэтому ФКП  всюду на –плоскости дифференцируема, причем . Получили формулу для производной показательной ФКП, аналогичную формуле производной показательной функции в действительной области.

ПРИМЕР 3. Проверить дифференцируемость при любых  ФКП   при каждом конкретном значении ; доказать формулу .

Решение. Имеем , , где  вычисляется по правилу

Функции , , ,  являются непрерывными всюду, кроме . Условия (4) выполнены также всюду, кроме , т.е. каждая ветвь ФКП  дифференцируема для любого . По формуле (5) имеем  ().

Заметим, что аналогичными рассуждениями можно показать дифференцируемость в области определения тригонометрических и гиперболических ФКП, а также однозначных ветвей обратных ФКП для них; причем значения производных этих функций находятся по формулам, аналогичным для соответствующих функций в действительной области:

;

, (6)

;  и т.д.

ПРИМЕР 4. Показать, что ФКП  не дифференцируема ни в одной точке .

Решение. Имеем , т.е.  и .
Функции , , ,  всюду непрерывные, но условия (4) дифференцируемости ФКП не выполняется ни в одной точке, поэтому  нигде не дифференцируемая ФКП.

ПРИМЕР 5. Для ФКП  имеем , . Функции , , ,  всюду непрерывные, условия (4) выполняются только в точке . Поэтому  является ФКП, дифференцируемой только в точке .

Еще раз подчеркнем, что если ФКП не является непрерывной в точке, то и дифференцируемой она не может быть в этой точке. Но и непрерывная в точке ФКП не всегда является дифференцируемой в этой точке функцией, даже если частные производные действительных компонент ее непрерывны – обязательно должны выполняться условия Коши – Римана.

Задание

1. Проверить дифференцируемость ФКП   всюду при ; показать, что .

2. Доказать дифференцируемость всюду на –плоскости ФКП , , , ; вывести формулы для производных этих функций.

3. При каких значениях  и  ФКП  дифференцируема всюду?

Ответ: , , т.е. .


Курс высшей математики решение задач