Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Интегральная формула Коши

Пусть ФКП  – аналитическая в односвязной области , произвольный контур   "погружен" в ,  – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке  значение ФКП  определяется через значения  на контуре  по интегральной формуле
Коши

, (10)

здесь , ориентация контура  принимается положительной по отношению к области, содержащей точку  (см. [1 – 5]).

Формула (10) показывает, что значения аналитической ФКП внутри контура определяются значениями функций на самом контуре. Например, если ФКП   на  равна нулю (или, вообще, одному и тому же постоянному числу ), то, как следует из (10),  (или ) во всех точках внутри контура . Действительнозначные дифференцируемые функции в действительной области подобным свойством не обладают. Например,  – определена и непрерывна внутри и на границе круга . На контуре   эта функция  равна нулю, но в любой внутренней точке круга .

В равенстве (10)  – переменная интегрирования,  – параметр. Не доказывая правомерность дифференцирования по параметру, после последовательного дифференцирования по  тождества (10) получаем

, ,

. (11)

Интегральные формулы (10), (11) выражают одно из важнейших свойств аналитической ФКП: если ФКП  аналитическая на области  (или в точке ), то  сколь угодно раз дифференцируема на  (в точке ), причем производная любого порядка  в свою очередь является ФКП аналитической на области  ( соответственно в точке ).

Формулы (10), (11) могут быть использованы при вычислении
интегралов вида   для ФКП, имеющей внутри контура  одну особую точку , при этом предполагается, что на самом контуре  подынтегральная функция не имеет особых точек.

ПРИМЕР 7. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция имеет структуру , где  – всюду на –плоскости аналитическая ФКП, , контур  "погружен" в область аналитичности функции  и "охватывает" точку . Применяя интегральную формулу
Коши (10), получаем

.

Заметим, что интеграл той же самой ФКП  по контуру, "не охватывающему" точку , например, по окружности , равен нулю (см. теорему Коши).

ПРИМЕР 8. Вычислить .

Решение. Особые точки подынтегральной ФКП находятся из уравнения , т.е. , .

Внутри контура интегрирования расположена особая точка .

Подынтегральную функцию можно представить в виде

.

Структура этого выражения позволяет использовать формулу (10) при   – аналитической ФКП на контуре  и внутри него. Получаем из (10) .

ПРИМЕР 9. Вычислить .

Решение. Особая точка подынтегральной функции  расположена внутри окружности , причем , т.е. . Применяя соответствующую формулу интеграла Коши (11), получим , где , , , т.е. .

Задание. Вычислить: 1) ; 2) ;

3) ;  4) , где ;

5) ;  6) ;

7) , где .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .


Математика задачи курсового и типового расчета