Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Разложение ФКП в ряд Лорана

Пусть однозначная ФКП  является аналитической функцией внутри кольца  между окружностями  и   с центром ; пусть  – произвольная точка этого кольца.

Тогда аналогично тому, как это проделано в 4.1, можно показать (см. [1 – 4]), что в указанном кольце ФКП  единственным образом разложима по степеням разности  в ряд следующего
вида:

, (4)

где коэффициенты   при  определяются формулой

, (5)

а   – любая расположенная в кольце окружность с центром в точке  и положительно ориентированная относительно области,
содержащей точку .

Ряд по степеням  в (4) называется рядом Лорана ФКП   в кольце ее аналитичности .

Ряд Лорана (4) отличается от ряда Тейлора (2) тем, что он помимо степеней разности  с положительными целыми показателями (правильная часть ряда Лорана) содержит степени разности  с отрицательными целыми показателями (главная часть ряда Лорана).

Разложение ФКП  в ряд Лорана в кольце аналитичности проводится, как правило, не с помощью формулы (5), а с использованием уже известных разложений функции в степенной ряд либо искусственными приемами.

ПРИМЕР 6. Используя представление ФКП  по степеням ,
получить разложение в ряд для .

Решение. ФКП  имеет особую точку ; в кольце  она представима рядом Лорана

;

здесь главная часть ряда Лорана отсутствует.


Математика задачи курсового и типового расчета