Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Знакопеременные ряды

Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Например, знакопеременными являются следующие ряды ; ;  (здесь ,,,, и т.д.).

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды .

Достаточное условие их сходимости дает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА Лейбница *

Если 1) ; 2) , то знакочередующийся ряд  сходится.

Доказательство. Рассмотрим

 по условию 1,

с ростом  возрастает. Если сгруппировать слагаемые иначе:   и учесть неотрицательность вычитаемых чисел, то получим ограниченность последовательности , т.е. . Возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится:  – конечное число : .

Рассмотрим : поскольку  и  при , то по теореме о пределе суммы последовательностей .

Из сходимости подпоследовательностей  и  к одному и тому же пределу следует сходимость исходной последовательности  к , а значит, и сходимость ряда .

Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит первого его слагаемого (взятого по абсолютной величине)

.

Замечание. Условия теоремы Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда являются существенными. Если нарушено одно из этих требований, то ряд может расходиться. Условие 2) – необходимое условие сходимости (см. ранее). Существенность условия 1) покажем на контрпримере: рассмотрим знакочередующийся ряд , предел его -го члена при  равен нулю, а условие убывания абсолютных величин

слагаемых нарушено. Покажем, что этот ряд расходится. В самом деле,   и при  .

Сходимость произвольного знакопеременного ряда иногда можно установить по следующей теореме.

ТЕОРЕМА (достаточное условие сходимости (абсолютной сходимости) знакопеременного ряда)

Пусть ряд  – знакопеременный. Если ряд из "абсолютных величин"  сходится, то исходный ряд  также сходится.

Обратное утверждение неверно.

Доказательство. По критерию Коши из сходимости ряда  имеем  . Оценим соответствующий "отрезок" ряда с -го члена "длиной " для исходного ряда .

Итак, для исходного ряда имеем

 ,

т.е. выполнено условие Коши, и по критерию Коши исходный ряд сходится.


Курс высшей математики решение задач