Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Определение абсолютной сходимости ряда

Если 1) ряд  сходится; 2) ряд из "абсолютных величин"   сходится, то исходный ряд   называется абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Очевидно, всякий сходящийся положительнозначный ряд абсолютно сходится.

Например, ряд  сходится абсолютно; ряд  сходится абсолютно (для ряда  оценочный сверху ряд  сходится).

Абсолютная сходимость ряда – более сильное свойство сходимости ряда. Для установления абсолютной сходимости произвольного ряда можно использовать все условия (признаки) сходимости, сформулированные для положительнозначных рядов. Действия над абсолютно сходящимися рядами аналогичны действиям над конечными суммами чисел. Для абсолютно сходящегося ряда сумма его не изменится, если в нем переставить произвольным образом слагаемые или ввести любую группировку слагаемых ([4]).

Для знакопеременного абсолютно сходящегося ряда  его сумма , где  есть сумма всех положительных слагаемых ряда, а   есть сумма абсолютных величин всех отрицательных его слагаемых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (условно сходящегося ряда)

Если 1) ряд  сходится, 2) ряд расходится, то исходный ряд  называется условно сходящимся.

Например, ряды ,  условно сходятся.

Если знакопеременный ряд условно сходится, то его сумма может измениться от перестановки слагаемых и от группировки слагаемых.

ПРИМЕР 7. Пусть сумма условно сходящегося ряда

 равна . Переставим его слагаемые следующим образом:

.

Видим, что проведенные операции не изменили факт сходимости ряда, но полученный ряд имеет другое значение суммы.

Можно показать ([4]), что если знакопеременный ряд условно сходится, то ряды, составленные из положительных и абсолютных величин отрицательных членов этого ряда, расходятся. Это свойство условно сходящихся рядов позволяет обосновать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА Римана *. Если числовой ряд в   условно сходится, то для всякого конечного или бесконечного  можно так переставить слагаемые в этом ряде, что полученный ряд будет иметь суммой .

Эта теорема показывает, что условная сходимость числового ряда реализуется лишь благодаря взаимному уничтожению соответствующих положительных и отрицательных членов ряда, т.е. существенно зависит от порядка слагаемых ряда.


Курс высшей математики решение задач