Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика функции комплексной переменной

Вычисления несобственного интеграла вида

Утверждение:

Пусть 1) ФКП  – аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек , ; 2) при , где , ,  – достаточно большое число.

Тогда справедлива формула

. (2)

В самом деле, если взять число  достаточно большим, то контур , составленный из полуокружности ,  и отрезка   оси , охватит все особые точки   ФКП . Тогда по основной теореме о вычетах имеем

или, в силу свойства аддитивности дуги ,

. (3)

Поскольку при  имеем , то

.

При  имеем   и .

Переходя к пределу в равенстве (3) при , получаем формулу (2).

Заметим, что для дробно-рациональной ФКП  (,) условия 1 и 2 выполняются, если .

Пример:

Ряд Лейбница:  сходится условно (неабсолютно), так как гармонический ряд  расходится.

Пример (расходящийся знакочередующийся ряд):

 не монотонно:  расходится.

Вообще, если ряд представим в виде суммы рядов:

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится.

Если один из рядов сходится, а другой расходится, то их сумма расходится.


Математика задачи курсового и типового расчета