Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Простейшие свойства преобразования Лапласа

1. Однородность. Если для оригинала  изображение есть , , то для всякого числа  оригинал  имеет изображение , . Схематично это утверждение можно записать в виде

.  (4)

Свойство однородности преобразования Лапласа означает, что при умножении оригинала на ненулевое число его изображение также умножается на это число.

2. Аддитивность. Изображение суммы двух оригиналов равно сумме изображений слагаемых, т.е.

, (5)

.

Свойства однородности и аддитивности преобразования Лапласа определяют его линейность. Изображение линейной комбинации конечного множества оригиналов есть линейная комбинация соответствующих изображений, т.е. если , где  – постоянные,  – оригиналы,  для , то , .

3. Подобие (или свойство изменения масштаба)

. (6)

Проверка утверждений о простейших свойствах изображений проводится непосредственно по определению (1). Например, справедливость свойства подобия получаем из соотношения . Используя замену переменных  и учитывая, что при  пределы интегрирования не изменяются, имеем

.

ПРИМЕР 7. Используя простейшие свойства ПЛ, найти изображения тригонометрических и гиперболических функций.

Решение. По формуле Эйлера имеем: . Используя пример 6 и формулы (4) – (6), получаем изображение для  в виде

, т.е. справедливо соотношение .

По формуле Эйлера  и для оригинала  имеем изображение ,

т.е. . Аналогично устанавливаются соотношения

  и .

Заметим, что каждое из установленных соотношений имеет место в области ; слева в соотношениях – оригиналы.

Пример:

 не существует, но =1 => => R = 1

2 теорема Абеля: Ряд  сходится в точке x=x0 . Тогда ряд   сходится равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0] если x0<0).

Доказательство:

 

=> По признаку Абеля

Следствия:


Математика задачи курсового и типового расчета