Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Дифференцирование оригинала

Если , а функции  – оригиналы, то справедливы соотношения

то  (7)

где , .

В самом деле, из формулы (1) после интегрирования по частям получаем

, т.е. .

Здесь, как и ранее предполагалось, , и поэтому имеем , т.е. .

Применяя полученную формулу к функции , получаем соотношение

 или .

Методом математической индукции устанавливается справедливость соотношений (7) при каждом значении .

Формулы (7) становятся более простыми при  для . В этом случае имеем

, ,  , ,

т.е. видим, что дифференцирование оригинала  сводится к умножению на   изображения .

Изображения функций и их производных используются при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида  (8)

с начальными условиями ,(9)

здесь  – искомое решение;  – заданные числа.

Предположим, что искомое решение этой задачи Коши дифференциального уравнения  и его производные , , а также функция  являются оригиналами. Тогда, используя свойства изображений, можно перейти от дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (9) к операторному уравнению

, где , .

Это уравнение является линейным алгебраическим уравнением относительно . Разрешив его, найдем  – изображение искомого решения . Далее по  восстанавливаем оригинал  – требуемое решение задачи Коши (8) – (9).

ПРИМЕР 8. Найти решение дифференциального уравнения  при .

Решение. Переходим к операторному уравнению: полагаем , находим  и записываем . Из этого уравнения получаем  или . Для восстановления   по его изображению  можно разложить  на простейшие дроби

.

 Коэффициенты разложения  найдем методом неопределенных коэффициентов, приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая числители. При любых  имеем , в том числе

при  получаем  или ;

при   или ; при   или .

Окончательно имеем .

Используя свойства изображения и пример 6, получаем

.

Непосредственной подстановкой  в заданное уравнение можно убедиться в правильности полученного решения.


Математика задачи курсового и типового расчета