Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Интегрирование оригинала

Если  – оригинал и , , то функция  также является оригиналом, причем

,  (10)

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

В самом деле, функция  удовлетворяет определению оригинала:

1) по свойству определенного интеграла с переменным пределом функция   либо непрерывна всюду, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода на произвольном отрезке конечной длины;

2)  при , так как  при , причем ;

3) для  

, здесь использованы свойства оригинала ,  – показатель роста функций  и .

Обозначим изображение функции  через . По свойству интеграла с переменным верхним пределом  и  (см. формулу (7)). Из равенства   устанавливаем (10).

ПРИМЕР 9. Применить формулу (10) к степенным функциям , .

Решение. Представим , получим соотношение , аналогично , т.е. . В общем случае .

6. Дифференцирование изображения

Дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на , т.е.

, (11)

.

В самом деле, поскольку  – аналитическая функция комплексной переменной в полуплоскости , то ее можно дифференцировать по  (под знаком интеграла); получаем

,

т.е. ; аналогично для .

ПРИМЕР 10. Найти изображение для оригинала .

Решение. Из примера 6 имеем . Применяя правило дифференцирования изображения, получаем

, т.е. ;

, т.е. ;

после ""-кратного дифференцирования приходим к соотношению

.

ПРИМЕР 11. Найти изображение оригинала .

Решение. Из примера 7 имеем . Изображение функции  найдем дифференцированием по  функции

 и умножением этой производной на , т.е.

.


Математика задачи курсового и типового расчета