Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Изображение периодического сигнала

Если  есть –периодическая функция, то  – периодический оригинал. График его есть график функции, построенный на  и периодически продолженный на . Представим изображение периодического оригинала в виде

.

Во втором интеграле проведем замену переменной интегрирования . Тогда

,

отсюда  . (15)

ПРИМЕР 18. Найти изображение периодического прямоугольного импульса (см. рисунок).

Решение. Вычислим интеграл

.

Применяя формулу (15), получаем изображение

.

ПРИМЕР 19. Восстановить периодический сигнал (оригинал) по известному его изображению .

Решение. Представим  в виде суммы функционального ряда, пользуясь формулой суммы убывающей геометрической прогрессии:

,

здесь  для . Оригинал запишем, используя формально свойство аддитивности преобразования Лапласа для бесконечного множества слагаемых:

.

График оригинала представлен схематично на рисунке.

Задание

Найти изображение периодического оригинала, схематично заданного на рисунке.

Ответ: .

2. Восстановить оригинал для . Оригинал представить схематичным рисунком.

Ответ:

22.5. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА

Для использования операционного исчисления при решении задач нужно не только уметь находить изображение оригинала, но и по изображению восстанавливать соответствующий ему оригинал. Для этого полезны следующие таблицы.

Дифференциальные уравнения

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где  - функция, определенная в некоторой области  пространства ,  - независимая переменная,  - функция от ,  - ее производные.

Определение: Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Определение: Функция  называется решением дифференциального уравнения на промежутке , если для всех  из  выполняется равенство: . Дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения  единственное.

Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.


Математика задачи курсового и типового расчета