Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Предел функции Задачи курсового и типового расчета

Математика задачи на решение числовых рядов

Числовые ряды в комплексной области

Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее ([5], [7]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – некоторое множество комплексных чисел. Если каждому значению  на множестве  (записываем ) соответствует по правилу  одно или несколько комплексных чисел , то  есть комплекснозначная функция   комплексной переменной , определенная на множестве  (записываем , ).

Здесь ограничимся рассмотрением только однозначных функций , .

ПРИМЕР 1. Функция ,  – однозначная комплекснозначная функция комплексной переменной , так как при возведении в целую положительную степень числа  получим единственное значение . Область определения функции – вся комплексная плоскость, т.е. .

ПРИМЕР 2. Функция  тоже однозначная; определена она во всех точках , кроме .

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное значение , т.е. на , получаем , или , или , т.е. можно выделить действительную и мнимую части функции , где .

Задание комплекснозначной функции комплексной переменной , эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций  и , каждая из которых есть функция двух переменных   и  и определена на , , .

Понятие последовательности комплексных чисел вводится аналогично понятию последовательности действительных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество значений комплекснозначной функции  при , записанное в порядке возрастания , образует числовую последовательность , где .

Числовая последовательность  состоит из комплексных чисел  (иногда вместо  пишут ). Здесь  и  – числовые последовательности действительных чисел, ,


Курс высшей математики решение задач